Даны координаты A(50,20,10) B(15,50,20) Определить натуральную величину отрезка AB. Определить углы альфа, бетта, гамма
Даны координаты A(50,20,10) B(15,50,20) Определить натуральную величину отрезка AB. Определить углы альфа, бетта, гамма
Для начала найдем длину отрезка AB между точками A(50,20,10) и B(15,50,20). Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ]
Подставляем координаты точек A и B: [ AB = \sqrt{(15 - 50)^2 + (50 - 20)^2 + (20 - 10)^2} ] [ AB = \sqrt{(-35)^2 + (30)^2 + (10)^2} ] [ AB = \sqrt{1225 + 900 + 100} ] [ AB = \sqrt{2225} ] [ AB = 47.17 \text{ единиц} ]
Теперь определим углы между вектором AB и осями координат. Вектор AB можно представить как (\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (-35, 30, 10)).
Угол между вектором и осью X (альфа) определяется через скалярное произведение вектора (\vec{AB}) и вектора оси X (\vec{i} = (1, 0, 0)): [ \cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{i}}{|\vec{AB}| |\vec{i}|} = \frac{-35}{47.17} ] [ \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{-35}{47.17}\right) \approx 132.71^{\circ} ]
Угол между вектором и осью Y (бетта) определяется аналогично: [ \cos \beta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{j}}{|\vec{AB}| |\vec{j}|} = \frac{30}{47.17} ] [ \beta = \cos^{-1}\left(\frac{30}{47.17}\right) \approx 48.08^{\circ} ]
Угол между вектором и осью Z (гамма) также найдем по формуле: [ \cos \gamma = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{k}}{|\vec{AB}| |\vec{k}|} = \frac{10}{47.17} ] [ \gamma = \cos^{-1}\left(\frac{10}{47.17}\right) \approx 78.18^{\circ} ]
Таким образом, натуральная величина отрезка AB равна примерно 47.17 единиц, а углы альфа, бетта и гамма равны примерно 132.71°, 48.08° и 78.18° соответственно.
Для определения натуральной величины отрезка AB используется формула длины отрезка в трехмерном пространстве:
AB = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)
где (x1, y1, z1) - координаты точки A, (x2, y2, z2) - координаты точки B.
Подставляя данные из условия, получаем:
AB = √((15-50)^2 + (50-20)^2 + (20-10)^2) AB = √((-35)^2 + (30)^2 + (10)^2) AB = √(1225 + 900 + 100) AB = √2225 AB ≈ 47.22
Теперь определим углы альфа, бетта, гамма. Для этого воспользуемся формулами:
cos(α) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc cos(β) = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac cos(γ) = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab
где a, b, c - длины сторон треугольника, соответствующие сторонам, образованным отрезком AB и осями координат.
Подставляя значения a = 47.22, b = 50, c = 30, получаем:
cos(α) = (50^2 + 30^2 - 47.22^2) / (2 50 30) cos(β) = (47.22^2 + 30^2 - 50^2) / (2 47.22 30) cos(γ) = (47.22^2 + 50^2 - 30^2) / (2 47.22 50)
Вычисляя cos(α), cos(β), cos(γ), затем находя углы α, β, γ, получаем значения углов:
α ≈ 70.42 градусов β ≈ 52.77 градусов γ ≈ 56.81 градусов
Таким образом, натуральная величина отрезка AB составляет примерно 47.22 единицы, угол α ≈ 70.42 градусов, угол β ≈ 52.77 градусов, угол γ ≈ 56.81 градусов.
