Выпуклый многоугольник имеет 14 диагоналей.Сколько у него сторон?

Чтобы решить эту задачу, важно вспомнить формулу, которая связывает количество сторон ( n ) выпуклого многоугольника с количеством его диагоналей ( d ). Формула для нахождения количества диагоналей выпуклого многоугольника выглядит следующим образом:

[ d = \frac{n(n - 3)}{2} ]

Эта формула выводится из рассуждения, что каждая вершина многоугольника соединяется диагоналями со всеми остальными вершинами, кроме себя и двух соседних (с которыми она образует стороны многоугольника). Таким образом, каждая вершина соединяется диагоналями с ( n - 3 ) вершинами. Поскольку у многоугольника ( n ) вершин, общее количество таких соединений будет ( n(n - 3) ), но поскольку каждая диагональ считается дважды (она соединяет две вершины), итоговое количество диагоналей нужно разделить на 2.

Подставляя известное нам количество диагоналей ( d = 14 ) в формулу, получаем:

[ 14 = \frac{n(n - 3)}{2} ]

Умножаем обе стороны уравнения на 2:

[ 28 = n(n - 3) ]

Раскрываем скобки и приводим уравнение к стандартному квадратному виду:

[ n^2 - 3n - 28 = 0 ]

Решаем это квадратное уравнение. Дискриминант ( \Delta ) вычисляется по формуле ( b^2 - 4ac ). В данном случае ( a = 1 ), ( b = -3 ), ( c = -28 ):

[ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 ]

Корень из дискриминанта:

[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{121} = 11 ]

Теперь найдём корни уравнения:

[ n = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-3) \pm 11}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 11}{2} ]

Получаем два корня:

[ n_1 = \frac{3 + 11}{2} = 7, \quad n_2 = \frac{3 - 11}{2} = -4 ]

Отрицательное значение ( n_2 = -4 ) не имеет смысла в контексте количества сторон многоугольника, поэтому единственным правильным ответом будет ( n = 7 ). Таким образом, выпуклый многоугольник с 14 диагоналями имеет 7 сторон.

Чтобы определить количество сторон выпуклого многоугольника, нужно воспользоваться формулой для нахождения количества диагоналей в многоугольнике: n(n-3)/2, где n - количество вершин (сторон) многоугольника.

Уравнение для нахождения количества сторон многоугольника: n(n-3)/2 = 14

Далее найдем такое натуральное число n, при котором это уравнение выполняется. Подставляем различные значения n: 1(1-3)/2 = -1 2(2-3)/2 = -1 3(3-3)/2 = 0 4(4-3)/2 = 2 5(5-3)/2 = 5/2 6(6-3)/2 = 3 7(7-3)/2 = 7/2 8(8-3)/2 = 10 9(9-3)/2 = 18/2 = 9 10(10-3)/2 = 35/2

Таким образом, получаем, что количество сторон выпуклого многоугольника равно 10.